Aqui les presentamos oficialmente nuestro proyecto final de Mate VI, que consta en 2 videos y 2 archivos de GeoGebra; ¿que porqué tanto para un problema? bueno pues la razón es que quisimos desarrollarlo completamente, asi que nos valimos de estos recursos. Ojalá sean de su agrado!!
...nuestro applet de GeoGebra explicando el problema del pintor.
...y ahora un ultimo video donde damos la explicación de modo algebráico.
...finalmente, un archivo de GeoGebra donde graficamos la función y explicamos cómo obtuvimos el valor óptimo de la función.
viernes, 8 de abril de 2011
domingo, 3 de abril de 2011
Proyecto Final 2
Hola!!
Aqui esta el applet de la representación del problema final:
Este es el applet de las Graficas de la función, derivada y segunda derivada:
Saludos!!!
Aqui esta el applet de la representación del problema final:
Este es el applet de las Graficas de la función, derivada y segunda derivada:
Saludos!!!
sábado, 2 de abril de 2011
Historia de las Derivadas
Por medio de este pequeño texto, voy a compartirles un poco de la historia de las derivadas, la cual me ha parecido muy interesante, pues desde hace mucho tiempo se ha venido utilizando este concepto y es aplicable para muchas cosas en la vida aunque normalmente no lo notamos pero aqui también les pondre algunas de las aplicaciones de las derivadas.
Bueno para empezar, el concepto de derivada esta dentro del cálculo infinitesimal y dentro de éste estan el cálculo integral y cálculo diferencial y un concepto básico para estos campos de estudio es la derivada.
CÁLCULO INFINITESIMAL
El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.
El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye en base al álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.
Más generalmente, el cálculo puede referirse a cualquier método o sistema de cuantificación guiado por la manipulación simbólica de las expresiones.
Muy bien, ahora que sabemos un poco mejor que es el cálculo infinitesimal, comencemos a ver la historia de la derivada.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia siglo III a.c, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después
En cunato a la derivada, hay 2 conceptos principales que le dieron origen:
1)El problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge
Apolonio de Perge, Apolonio de Perga o Apolonio de Pérgamo (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.
También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.
Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.
En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C. - circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, «Tangencias»). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Pappus de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas.
El enunciado original del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser rectas, puntos o circunferencias de cualquier tamaño. Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema a veces se llaman «circunferencias de Apolonio», aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.
2)El problema de los extremos máximos y mínimos de Pierre de Fermat
El teorema de Fermat para el análisis matemático afirma que:
Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el punto c, entonces f '(c) = 0.
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 20 de agosto de 1601;[1] Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».[2]
Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.
Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1993 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.
Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.
En el siglo XVIILos matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como símbolos y el símbolo de la integral .
CONCEPTOS Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Naturalmente, uno no necesita derivar en la vida diaria fuera del trabajo (y tampoco en la mayor parte de las actividades profesionales). Sin embargo las derivadas son necesarias en muchas aplicaciones prácticas en biología, mecánica, en medicina bacteriológica, etc.
Especialmente el concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.
Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera). Otra es hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente.
Bien ahora que sabemos un poco de la historia de la derivada comencemos a entender y explicar brevemente lo que es una derivada.
Supongamos que tenemos una función y la llamamos f. La derivada de f es otra función que llamaremos f'.
f'(X) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x.
En términos geométricos, esta pendiente f'(x) es «la inclinación» de la línea recta que pasa justo por encima del punto (x,f(x)) y que es tangente a la gráfica de f.
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.
Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.
Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) en un punto x de una función f está dado por f'(x).
No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.
Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.
Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.
viernes, 1 de abril de 2011
Las Matemáticas y el arte!!
El arte y las matemáticas han estado relacionadas desde el inicio y aparicion de las civilizaciones; ambos han estado presentes en todas las culturas y a lo largo de toda la historia de la humanidad. Tienen una relación muy amplia en donde se mezclan el sentido de la estética, la búsqueda de la perfección, la exploración y relación del espacio-tiempo y el reconocimiento de formas y patrones de repetición y aunque a muchas personas no se los parezca esto es así y en la vida diaria de alguna u otra forma podremos con un poco de observación como es que ambas se relacionan estrechamente; es por eso que en esta entrada voy a compartirles una pequeña investigación de las cosas en las que se relacionan ambas.
MATEMÁTICAS Y LITERATURA
La matemática enseña también a escribir, si se quiere que la concisión, la claridad, y la precisión sean cualidades de estilo.
El lenguaje matemático obliga a una gimnasia intelectual sumamente intensa.
Algunos escritores han usado elementos matemáticos en sus creaciones literarias.
Jorge Luis Borges: La Biblioteca de Babel“...A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras…”
“La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar”.
“...Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte...”
Dale Brown: El código da Vinci
Anagramas
Códigos secretos.
Criptografía.
Proporción dorada.
Número de oro.
Geometría sagrada.
Sucesión de Fibonacci.
LA MÚSICA Y LAS MATEMÁTICAS
La música y la matemática han estado relacionada durante siglos. En el curriculum de los estudiantes de la edad media se incluían las siguientes artes o disciplinas:
Aritmética
Geometría.
Astronomía
Música
Pitágoras y la música
Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio)
Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo.
Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta)
Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se obtiene la cuarta.
En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros.
El Piano Bien Temperado
El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce tonalidades usando el modo mayor y menor.
Bach afinó su piano en la escala temperada dividiendo los tonos en series dentro de un espacio definido.
La escala temperada es la que se usa hoy en día.
La música y las probabilidades
Algunos músicos compusieron obras a partir de reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades.
Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para componer valses de 16 compases, lanzando los dados.
La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de composición” (K294).
Los números en la matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart.
Hay 2x1114 variaciones del mismo vals.
¿De que está hecha la música?
De funciones trigonométricas.
Los sonidos producidos por la vibración de cuerdas y membranas se propagan en el aire mediante ondas sonoras.
Componentes de una onda
Intensidad = Amplitud
Tono= frecuencia.
Timbre = forma particular de la onda.
El Análisis de Fourier
El matemático Francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), descubrió que toda función periódica ( onda sonora) es una combinación de senos y cosenos.
¿ Y que hay del ritmo y la melodía?
En 2002, los trabajos Toussaint, inician una investigación teórica de ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas y de combinatoria.
Esto permite la enseñanza, el análisis, la visualización y el reconocimiento automatizado de ritmos.
Para los ritmos se usa un sistema sencillo de notación en base a unidades de tiempo.
Otra forma de representar los ritmos consiste en emplear un vector de intervalos.
Cada dígito representa el intervalo de tiempo entre sonidos sucesivos.
Clave son se representa por: (3 3 4 2 4)
La Trilogía Sagrada: Matemáticas, Arte y Naturaleza
La belleza de las proporciones
El rectángulo dorado
El Número de Oro
La sucesión de Fibonacci
La espiral
Las simetrías
Las teselaciones
Las proporciones
Un radio es una comparación de dos cantidades, tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b.
Una proporción es una relación de equivalencia entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe
a: b::c: d.
Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.
La proporción dorada
¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa?
a + b : b :: b : a
La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.
Esta proporción la llamamos proporción dorada
La belleza de las formas en la naturaleza
“Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las matemáticas, y puesto que estas formas parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza”
La belleza de las proporciones
“Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón.
La altura total dividida entre la altura hasta el ombligo debe ser iguala la proporción dorada = 1.618…
El rectángulo dorado
El rectángulo dorado sirve de división armónica entre los espacios.
Para que un espacio dividido en partes iguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor.
Una familia de números de oro Números de oro generalizados
Si para cada número natural n, consideramos la ecuación
n x 2 – x- n = 0
La solución de la misma es el n-número de oro
n = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n
En particular se tiene que
1 =
Los números de oro generalizados
La sucesión de Fibonacci
Una sucesión de números naturales
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
Una sucesión de proporciones racionales
1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8, …
Que tienden hacia la Proporción Áurea
→
La Espiral
La espiral aparece en la naturaleza organizando el crecimiento de las formas.
Cada Angulo central, de una espiral logarítmica, origina arcos similares
Las espirales del girasol
Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas del reloj).
Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj.
La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis de la planta.
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